Gre za prvi del prispevka, prej objavljenega v reviji Phainomena, 124-125(32), str. 221-253.

Povzetek

V prispevku kritično ovrednotim osnovne predpostavke fenomenološke interpretacije znanstvene revolucije v delih Edmunda Husserla in Martina Heideggerja. Ob razkritju nasprotij med intelektualnimi vodili antične teorije števil in mešanih znanosti na eni ter novoveške algebre in mehanike na drugi strani izpostavim vlogo novonastalega simbolnega mišljenja, ki jo omenjena fenomenologa zanemarjata kot posledico in ne vzrok znanstvene revolucije. Z mislijo Jacoba Kleina nato oblikujem alternativno razumevanje znanstvenega mišljenja, ki v ospredje postavi t. i. simbolno delujočo abstrakcijo matematično-fizikalnih pojmov. Ti se ob zaprtju v lastne strukturne odnose oddaljijo od neposrednih materialnih interpretacij in s tem omogočijo kompleksnejše mišljenje izvora znanstvenih idealizacij. Slednjega izpeljem v tesni navezavi na pojem simbolnega vedênja pri Mauriceu Merleau-Pontyju in obenem izoblikujem nastavek za teorijo utelešene znanstvene zaznave.

Ključne besede: fenomenologija znanosti, Jacob Klein, Maurice Merleau-Ponty, idealizacija, simbolizacija

Abstract

The article challenges the core ideas that underlie the interpretation of scientific revolution presented by Edmund Husserl and Martin Heidegger. By examining ancient Greek number theory and mixed sciences alongside modern algebra and mechanics, the paper highlights the significance of symbolization, which was overlooked by these two philosophers. Drawing upon the ideas of Jacob Klein, the paper presents a fresh approach to comprehending scientific idealizations, closely linked with Maurice Merleau-Ponty’s concept of symbolic behavior.

Keywords: phenomenology of science, Jacob Klein, Maurice Merleau-Ponty, idealisation, symbolisation

»ZAKON 1

Vsako telo vztraja v svojem stanju mirovanja ali enakomernega premočrtnega gibanja,

dokler nanj ne deluje sila, ki bi ga primorala to stanje spremeniti.«

(Newton 2020, 53; prevod je spremenjen)

Uvod

Leta 1971 je ameriški astronavt David Scott na luni primerjal padec kladiva s padcem peresa. Zaključil je, da je imel Galileo Galilej prav: oba sta na tleh pristala istočasno (Allen 1972, 2– 11).^[1]Posnetek dogodka je dostopen na: https://www.youtube.com/watch?v=ZVfhztmK9zI&ab_channel=NASAVideo. Zdi se, da je to zgolj še ena izmed stopničk, po katerih stopa neustrašna tradicija matematične fizike, odkar si je nekaj stoletij nazaj mukotrpno utrla pot na svobodo. Vendar s tako hvalnico eksperimentu sodobna znanost pogosto pozablja, da njenih temeljnih pojmov v principu ne moremo izkusiti. Kljub temu da je Galilejev slavni poskus z različno obteženima kroglama po štiristo letih končno dosegel zadovoljivo izvedbo, pojem vztrajnosti (gibanja)^[2]Definicijo vztrajnostnega gibanja bralec lahko najde v uvodnem citatu. denimo take razrešitve ne bo dočakal nikoli – sistemi, v katerih bi predmet zaradi odsotnosti vplivov drugih sil vztrajal »v svojem stanju mirovanja ali enakomernega premočrtnega gibanja« (ibid.), obstajajo le v naši domišljiji.

Kako lahko potemtakem govorimo o fenomenologiji znanosti? Zdi se, da smo med proučevanjem izkušnje matematičnega fizika izpostavljeni svojevrstni dinamiki, ki v sebi zajema neizkustveni moment formalnih pojmov, katerih pomen – čeprav sodi v središče sodobne fizike – izkusimo šele posredno, in sicer preko eksperimentalne izpolnitve hipotez, ki smo jih sprva izpeljali zgolj formalno. Isaac Newton svoje formalno izhodišče recimo zakoliči s slavnimi tremi zakoni gibanja (ibid.), med katere sodi tudi zgoraj navedeni prvi zakon, s katerim Newton natančno opredeli vztrajnostno gibanje. Skozi celotno zgodovino klasične mehanike lahko opazujemo, kako od svoje geneze v Galilejevih pionirskih podvigih pa vse tja do Einsteinove posebne teorije relativnosti oblikuje fizikalno misel. Predvsem pa lahko z njim izrišemo eno izmed razlik, ki so sholastično znanost ločile od moderne, bolj matematične fizike.

Kot je danes dobro znano, je fenomenologija svojo kritiko pogosto usmerila prav zoper neizkustveno dinamiko matematično-fizikalnega formalnega pojma. To nas napeljuje na misel, da je fenomenologija znanosti nenazadnje oksimoron: ob bok filozofski šoli, ki si je naprtila težko nalogo deformalizacije (filozofskega) mišljenja, postavlja znanost, edinstveni primerek formalizirane misli. To bi seveda držalo, v kolikor bi obtičali v teoretskem okviru Husserlovega ali Heideggerjevega pristopa k proučevanju znanosti. Mi pa se bomo, nasprotno, oprli na Merleau-Pontyjev pojem simbolnega vedenja in ga povezali z raziskavami o simbolizaciji števila, ki jih je spisal Jacob Klein. S tem bomo znanstveno revolucijo poskušali prikazati kot strukturno preobrazbo odnosa med eksperimentom in teorijo. Formalnih pojmov ne bomo razumeli kot eksplicitno izraženih filozofskih pojmov, temveč kot razširitve fenomenalnega telesa oziroma telesne sheme; izhajajoč iz Merleau-Pontyjevega utelešenega pogleda na zaznavo bomo izoblikovali teorijo formalno utelešene izkušnje.

Fenomenologija in idealizirana znanost

Antagonizem med nazorno izkušnjo in formalnim pojmom stopi v ospredje predvsem med branjem antičnih znanstvenih del, saj so nam ta zaradi našega sodobnega formaliziranega pogleda na svet tako rekoč nedosegljiva. Kar sodobno izkušnjo narave razlikuje od antične, je eksperimentalno nasičen matematični pojem oziroma metoda, ki nam v svoji tehnološki uspešnosti zastira naravno izkušnjo in otežuje razumevanje antičnih, nematematičnih znanosti. Vprašanje je seveda, ali je matematična »preobleka« v zgodovino vstopila postopoma ali v eni sami mišljenjski revoluciji; jasno pa je, da je zdaj tu in gospoduje nad sodobnimi znanstvenimi raziskavami. Zato je premostiti razliko med sodobnim in antičnim kriterijem resnice zahtevna naloga. Zgodovina znanosti zahteva tako pristno razumevanje sodobnih znanstvenih pojmov kot tudi obširen vpogled v njihovo zgodovinsko genezo. Nenazadnje se prav razkrivanje matematizirane narave odvija že slabo stoletje in bi ga lahko celo razumeli kot prvi resni korak nasproti zgodovini znanosti kot samostojni stroki (prim. Cohen, 2016).

Eden prvih mislecev, ki so v znanstveni revoluciji 16. in 17. stoletja videli poglavitni izvor problemov sodobne filozofije, je bil fenomenolog Edmund Husserl. Prepričan je bil, da so – fenomenološko gledano – matematični pojmi smiselni le, v kolikor lahko v izkustvenem življenju najdemo njihov nazorni pomen »evidentnosti uspelega udejanjanja« (Husserl 1998, 10). To pomeni, da znamo za dani pojem najti vsakdanjo nematematično izkušnjo, iz katere pojem izvira (za pojem števila bi bilo to recimo štetje vsakdanjih predmetov).^[3]Claire Ortiz Hill (2010) izpostavlja, da je Husserlov odnos do treh »tradicionalnih« filozofij matematike – formalizma, intuicionizma in logicizma – zapleten in nejasen, ter previdno zaključi, … Continue reading Taka nazornost evidence se seveda s formalizacijo misli pogosto izgubi: matematični pojmi se namreč prestrukturirajo že s tem, ko mislec svoja dognanja deli z drugimi (ibid., 12), nato pa jih z zapisom posreduje še tistim, s katerimi neposredni stik ni mogoč (recimo kasnejšim generacijam) (ibid., 14). V zapisu sprva povsem minljivi, nazorno razumljeni pojmi pridobijo status »nenehne-biti« (ibid., 14). To jim omogoča, da obstajajo, »čeprav jih ni nihče udejanjil v evidentnosti« (ibid.).

Vendar pa ta preobrazba s seboj prinese vrsto fenomenoloških preglavic. Zapisano namreč najpogosteje razumemo pasivno, tj. zgolj z asociativnim sledenjem zaporedju sklepanj, katerih veljavnosti ne preizprašamo ali preizkusimo aktivno (ibid., 14); torej brez udejanjenega uvida privzemamo konsistentnost in pravilnost zapisanega.^[4]Pomislimo na aksiome Peanove aritmetike, s katerimi štetje – in z njim odgovor na vprašanje »koliko?« (glej opombo 2) – zvedemo na sledenje zaporedni aplikaciji funkcije naslednika. Čeprav … Continue reading V izvornem kontekstu nekega pojma lahko njegovo izvorno evidenco brez problema reaktiviramo (tj. udejanjimo), saj je ta del vsakdanjega mišljenjskega okolja (ibid., 20). Tekom zgodovine pa se želja po evidentnosti počasi sprevrže v brezupno sanjarijo, saj je evidentno preizkušanje neke eksponentno razvijajoče se discipline nemogoče (ibid., 16). Kljub temu znanstveni napredek ni nujno izgubljen: izpeljavo pravilnosti in konsistentnosti pasivno sprejetih pojmov Husserl prepusti logiki, ki služi kot vodilo pri oblikovanju zaključene pojmovne celote. S tem utemelji zaupanje v pravilnost in konsistentnost velikih znanstvenih sistemov, ki so sicer izgubili neposredni stik z udejanjeno evidenco vsakega izmed členov v dolgi zgodovinski verigi znanstvenih dognanj (ibid., 16). Če kljub pomanjkanju nazornega pomena nekaterih členov vseeno nastane konsistentna pojmovna struktura, to nakazuje na skupno apodiktično strukturo sicer faktično različnih mišljenjskih okolij – skupno formalno ontologijo (ibid., 28). Proces, v katerem se pojem s pomočjo pisave na ta način idealizira, Husserl poimenuje sedimentacija. Z njo pojmi po eni strani zadobijo svojo idealno bit ter s tem kot zgodovinska tradicija navežejo stik z drugačnimi faktičnimi okolji, po drugi strani pa se izpostavijo nevarnostim pasivnega razumevanja, ki svojo prepričljivost črpa iz »neznanske, čeprav nerazumljene praktične koristnosti« (ibid., 19). Ob slednji se na spoznanje evidentnosti preprosto pozabi (ibid.).

Z izpostavitvijo tega dvojnega značaja sedimentacije Husserl po eni strani strne zgodovino matematike, po drugi pa analizira tudi novoveško matematizacijo narave. Meni, da novoveški znanstveniki s pomočjo merilne tehnike naravo sámo spremenijo v nekaj povsem pasivno privzetega. Ali natančneje: merilna tehnika, ki je izvorno vezana na meritve stvari vsakdanjega življenjskega sveta, z napredkom postopoma izboljšuje t. i. mejne oblike [Limesgestalten] oziroma empirične približke matematičnim pojmom (Husserl 2005, 41f; Garrison 1986, 330). V tovrstnem tehničnem približevanju se znanstvenik – v Husserlovih besedilih to mesto povečini zaseda Galileo Galilej – spozabi, saj se mu zazdi, da je narava v resnici le živega smisla izpraznjena razsežnost, ki jo kot fizik nadomesti s sedimentiranimi pojmi matematičnih teorij (ibid., 71f). Ob tem na izvorni, vsakdanji odnos s svetom, ki mu je raziskovanje sploh omogočil, preprosto pozabi.

Husserl Galileja označi kot dvojnega genija: po eni strani nam je razkril metodo, s katero prepoznamo »kavzalni zakon [in] ‘apriorno’ formo ‘pravega‘(idealiziranega in matematiziranega) sveta« (ibid., 73), po drugi pa zakril vse tiste načine oblikovanja odnosa z naravo, ki svojo prepričljivost prejmejo iz pomenskega, nazornega odnosa z vsakdanjim življenjskim svetom (ibid.). Husserl možnost formalizacije, s katero moderna znanost spremeni izkušnjo narave, najde v eksperimentalni tehniki, ki z napredkom tehničnih priprav omogoča vse prepričljivejše redukcije empiričnih pojavov na izoblikovane pojme evklidske geometrije. Slednja služi kot »sorazmerno razvita geometrija« (Husserl 2012, 29), s katero Galilej formalizira in na ta način zakriva izkustveno bogate naravne pojave. Rekli bomo, da Husserl matematizacijo narave razume kot preoblačenje predmetov v matematično preobleko, stkano z naprednimi tehničnimi postopki: znanstvenik vsakdanji predmet preoblikuje v matematični pojem in ga s tem idealizira. Po končani preobrazbi se čista razsežnost preprosto privzame za metafizični temelj sveta; vse ostalo so le obstranske, nebistvene akcidence.

Drugi fenomenolog, ki se je ukvarjal s tem vprašanjem, je bil Martin Heidegger, ki pa nasprotno meni, da matematični značaj sodobne znanosti ne zakrije izkustvene dinamike vsakdanjih predmetov, temveč »razkrije področje vprašanj in eksperimentov, zakonov in novih regij biti« (Heidegger 2011, 203). To se do neke mere sicer sklada s Husserlovo oznako Galileja kot dvojnega genija, a se od opisanega odnosa med eksperimentalno tehniko in matematično teorijo tudi bistveno oddalji. Husserl namreč vodilno vlogo nameni tehničnemu napredku, ki v naravi izoblikuje mejne oblike, in matematično interpretacijo narave razume kot posledico napredka tehničnih naprav. Heidegger odnos obrne: oblikovanje eksperimentalno preverljivih hipotez (tj. približkov znanstvenih pojmov) je popolnoma nezamisljivo brez vpetosti v nov način interpretacije sveta – hermenevtične vpetosti v matematični zasnutek [mathematischer Entwurf].^[5]Pojem Entwurf, ki ga uporabljata tako Heidegger kot Merleau-Ponty, bomo prevajali z »zasnutek«, saj gre za ustaljeni prevod, uporabljen že v slovenski različici Biti in časa (Heidegger 2005, … Continue reading

»S temi tremi značilnostmi moderne znanosti – faktičnost, eksperimentalnost, merljivost – zgrešimo njen temeljni značaj. Njena bistvena značilnost sestoji iz tega, kar usmerja in določa temeljno gibanje znanosti same. Ta značilnost zajema način rokovanja s stvarmi in metafizični zasnutek predmetnosti predmetov.« (ibid., 188)

Heidegger bistveno karakteristiko moderne znanosti vidi v vnaprej vzpostavljeni aksiomatski shemi, po kateri se zgleduje raziskovalec. Zasnutek interpretativnega ustroja znanstvenega pristopa vnaprej predpiše relevantne lastnosti, ki jih bo znanstvenik z eksperimenti nato poskušal fiksirati. Temu Heidegger pravi matematični značaj moderne znanosti:

»Matematično označuje temeljno naravnanost pristopa k stvarem, zaradi katere stvari razumemo, kot da bi bile že vnaprej dane, kot morajo in bi morale biti dane. Matematično je torej temeljna predpostavka vednosti o stvareh.« (ibid.)

Šele na podlagi vnaprej določenih matematičnih predpostavk, ki določajo pravilno predmetnost preiskovanih pojavov, lahko izoblikujemo eksperiment, ki te pojave kar se da dobro uprizori: tehnični napredek potrebuje matematizacijo kriterija znanstveno sprejemljivih izkušenj. Razmerje med vzrokom in učinkom je torej obratno kot pri Husserlu: »Na temelju matematičnega experientia postane moderni eksperiment. Moderna znanost je eksperimentalna zaradi matematičnega zasnutka« (ibid. 202). To je seveda obratno kot pri Husserlu, kjer je moderna znanost matematična zaradi eksperimentalne praktičnosti mejnih oblik.

Rekli bomo, da Heidegger matematizacijo narave razume kot izvirni hermenevtični odnos z vsakdanjim svetom, ki temelji na zasnutku dinamike aksiomatskih izhodišč, šele ta izhodišča pa v predmetu razkrijejo lastnosti, za katere znanstvenik poskuša oblikovati čim natančnejše eksperimente: matematični fizik najprej v vsakdanjem predmetu razkrije lastnosti, ki si jih predmet deli z matematičnim pojmom, in jih šele nato poskuša z eksperimentom kar se da dobro prikazati.

Če strnemo: Husserl torej pravi, da je treba naravne predmete zgolj tehnično obleči, Heidegger odvrača, da jih je sprva potrebno hermenevtično razkriti,^[6]Garrison (1986) lepo opiše, kako je Galilej prispel do zaključkov o vztrajnostnem gibanju: z valjenjem krogle po vse bolj gladkih površinah je počasi izoblikoval to, čemur bi Husserl rekel … Continue reading oba pa od znanstvenih pojmov pred kakršno koli aplikacijo zahtevata idealizacijo – fizik naj bi zmeraj posegal po izoblikovani geometriji ali aksiomatskem zasnutku, s katerim bi pred oblačenjem ali razkrivanjem vzpostavil koherentno mrežo aplikativnih pojmov. Te skupne predpostavke se bomo v nadaljevanju lotili mi. Husserl Galileju očita, da se še ne giba v simbolni znanosti in se torej še ni ločil od nazorne predstavitve matematičnih dognanj (Husserl 2005, 24). Tudi Heidegger opozarja, da so novi matematični postopki protoanalize nastali kot posledica in ne vzporedno z novim načinom interpretacije sveta (Heidegger 2008, 203). Oba fenomenologa torej vodi razumevanje, ki v osrčje matematične fizike postavlja aplikacijo enostavno podedovane antične matematike. V naslednjem razdelku bomo izpostavili, da geneze matematične fizike ne moremo preprosto reducirati na občasne evklidske izpeljave Galileja ali serijo sklepanj, ki jih je objavil Newton. Razlika med evklidsko geometrijo in matematično analizo nam bo razprla problematiko odnosa med antično in moderno matematiko, ki se bo izkazala za ključni moment naših razmislekov.

O dveh fizikah

V samem rojstvu sodobne znanosti opazimo nekakšno dvojnost v uporabi matematike pri raziskovanju fizikalnih pojavov. Po eni strani so si novoveški znanstveniki z evklidsko geometrijo prizadevali za širšo razumljivost izdelanih teorij, po drugi pa so si raziskovalno pot utirali z aksiomatsko neutemeljenimi postopki nastajajoče matematične analize^[7]Matematična analiza je veda, ki proučuje (realne) funkcije. Ukvarja se predvsem z odvajanjem in integriranjem in zato predvsem za odvod zahteva zveznost. Zveznost je bila formalno utemeljena šele … Continue reading (Kaplan 2018, 458). Predvsem s postopno izpostavitvijo vloge, ki jo je v znanstveni revoluciji odigrala analiza, bomo v privzeti idealizaciji znanstvenih pojmov opazili resen interpretativni problem. Videli bomo, da Husserl in Heidegger spregledata razvojni pomen neidealiziranih postopkov matematične analize, saj svojo teorijo matematične znanosti osnujeta predvsem okoli aplikativnih dinamik evklidske geometrije.

Lep primer omenjene dvojnosti lahko zasledimo prav v delu Isaaca Newtona, ki nasprotje med analizo in evklidsko geometrijo v svojem najslavnejšem delu razreši v prid slednji – predvsem zavoljo laične razumljivosti fizikalnih teorij. S Kaplanovimi besedami:

»Newton se je [z uporabo evklidske geometrije] izognil nerazumljivosti zahtevnih znanstvenih dognanj. S prikritjem analize je znanstveni tekst oblikoval v na prvi pogled demonstrativno sklepanje. Le matematično izobraženi bralci – tisti, ki so Newtonove dokaze dobro razumeli – so v tekstu lahko prepoznali pomanjkljivosti.« (ibid.)

Kot je razvidno iz citata, Newtonovo Principio prežemajo ideje – fluksije, limita, integralni račun – ki bi jih danes pripisali analizi in v strogem smislu niso zvedljive na misel, zajeto v Evklidovih Elementih.^[8]Za več o uporabi in skrivanju analize glej: Guicciardini 2009, 259–308. Kljub temu jih je Newton v želji po oblikovanju fantazme o popolni eksaktnosti vseeno skril v niz demonstrativnih evklidskih sklepanj. Pri iskanju notranjih silnic matematične fizike se zato ne smemo opirati na filozofsko podobo, ki jo je ta kazala navzven, temveč se moramo vprašati po njenih notranjih dinamikah; z drugimi besedami: znanstveniku moramo pustiti, da se nam daje v svojem naravnem, znanstvenem okolju – to pa je okolje, ki je bilo (in še vedno je) skoraj povsem prežeto s postopki matematične analize.

Na podlagi dvoumnosti fizikalnega pojma, ki preskakuje med evklidsko geometrijo in analizo, lahko fenomenološkemu razumevanju matematizacije narave postavimo naslednje vprašanje: ali znanstveno revolucijo res lahko razumemo s pomočjo izpopolnjenega in idealiziranega aksiomatskega sistema, kakršen je evklidska geometrija? Tako Husserl kot Heidegger svoja opažanja utemeljujeta s sklicevanjem na formalno vlogo matematike, ki – bodisi kot sedimentirani matematični pojem bodisi kot princip izpeljevanja aksiomatske skice – v znanstvene raziskave uvede neempirično, tj. idealno pojmovno strukturo. Da jo znanstvenik lahko prepričljivo aplicira, mora biti zadovoljivo razvita. A kot vemo, je trdna aksiomatska podlaga analitičnih postopkov novoveškim matematikom umanjkala (Stillwell 2019, 60). Newtonovo metodo fluksij je npr. Berkeley zmerjal kot »prikazen (pre)minulih lastnosti« funkcij [ghosts of departed qualities] (Berkeley 2007, 81), saj je infinitezimalne spremembe s pojmoma limite in zveznosti formalno ekspliciral šele Augustin-Louis Cauchy dve stoletji kasneje. (Kasneje bomo v Galilejevem delu našli podoben način preseganja antične matematike s protointegralnim računom Oresmovega diagrama, ki pa je morda nekoliko bližje Leibnitzovemu infinitezimalnemu računu.) Evklidska geometrija je bila v novem veku torej edini zadovoljivo razvit matematični sistem, s katerim so znanstveniki sicer lahko aksiomatsko izpeljevali svoja dognanja, a so s tem hkrati zakrivali nastajajoče postopke matematične analize.

Antični arithmos

V čem je torej glavna razlika med antično in moderno matematiko, med evklidsko geometrijo in analizo? Odgovor bomo našli v delu Jacoba Kleina: simbolizacija števila. Izkazalo se bo, da simbolizacije ne moremo razumeti kot samoumevnega prehoda na višjo stopnjo abstrakcije, temveč le kot preobrazbo najosnovnejših vodil matematičnega sklepanja. Tako razumljena simbolizacija bo omogočila drugačno interpretacijo geneze matematične fizike, ki bo segala onkraj anahronističnih predstav o evklidski geometriji.

Teorija množic, ki je služila kot izhodišče celotni filozofiji matematike od konca 19. stoletja naprej, antičnim matematikom ni bila na voljo, zato so rešitve filozofskih vprašanj o naravi števil iskali drugje. Posvetili se bomo predvsem eksplikaciji vodíla, skritega temelja, iz katerega so ti matematiki izpeljevali svoje premisleke o matematiki. Temu vodílu, ki od matematičnih razmislekov pričakuje nazornost, bomo rekli srečljivost, glede na kontekst pa ga bomo občasno preimenovali v paradigmo števnosti (teorija števil).^[9]S tema pojmoma bomo izpostavljali enostavno zahtevo, da antični Grki formalne matematike in znanosti niso poznali – za vsak pojem ali simbol je bil zmeraj v naprej previden tudi interpretativni … Continue reading Na kaj merimo s tem? Antična števila so zmeraj števila z jasno opredeljeno enoto in določenim številom enot, torej so prilastki mnoštev predmetov oziroma enot – število tega in onega, »a number of …«, kot pravi Klein (1968, 48). Povedano drugače, matematične in znanstvene predmete je zmeraj mogoče nazorno in/ali empirično srečati oziroma prešteti: vsako število je bodisi mnoštvo jabolk, hrušk ali v skrajnem primeru čistih miselnih enot.

Klein temu primerno nemalokrat opozori, da je grški pojem števila arithmos tesno povezan s preštevanjem štetih reči (ibid., 46). Platon v Državi omenja npr. »števila, ki so jim lastna vidna in otipljiva telesa« (525d), kar Klein posploši v misel, da antični Grki ob štetju konjev, psov ali ovac zapopadejo »konjska-, pasja- ali ovčja-števila« (Klein 1968, 47). Pri presojanju enakosti števil se antični matematik ne poslužuje bijektivnosti obravnavanih množic,^[10]Preslikava iz množice A v množico B je bijektivna, če vsakemu elementu iz B ustreza natančno en element iz A. temveč sledi spoznanju soudeleženosti mnoštev v skupnem eidosu števila. Skupni eidos jih opredeli kot mnoštva, ki so si enaka v številu: »Prav zato ker je arithmos mnogoter in ne eden, je njegova določitev v določenem primeru mogoča le z eidosom, ki bo zajel primerno mnogoterost« (ibid., 56). Čredi konjev in ovac, ki štejeta po deset osebkov, sta si zato – čeprav sta si sami na sebi različni – enaki v številu. Prav tako sta si enakokraki in enakostranični trikotnik enaka v tem, da sta oba trikotnika. Klein vse skupaj povzame takole:

»Tukaj je število deset analogno pojmu trikotnika: tako kot ne obstaja trikotnik, ki ni niti enakostraničen niti raznostraničen, tako tudi ne obstaja število deset, ki ne bi označevalo deset teh ali onih jasno določenih stvari. Trikotnik je zmeraj določen trikotnik, bodisi enakokrak, enakostraničen ali raznostraničen. Število deset je zmeraj določeno število določenih stvari, bodisi jabolk, bodisi psov, živine ali – v skrajnem primeru – čistih enot, dostopnih samo mislim; kljub razliki med skrajnim primerom čistih enot in vsemi ostalimi, se značaj arithmosa kot ‘določenega števila …’ [a number of …] ohrani povsod. […] To nadalje pomeni, da je število zmeraj nerazdružljivo zvezano s tistim, česar število je« (ibid. 48; moj poudarek).

Pojem, ki število nerazdružljivo poveže s preštetim mnoštvom, je enota (ibid., 48); štetje predpostavlja opredelitev enote, s katero štejemo. Tudi Aristotel, denimo, ki se je najbolj približal sodobnemu pojmovanju števila, paradigme števnosti kot osrednjega vodíla antične teorije števil ne opusti – zanj so števila abstrakcije preštetih mnoštev: »Število je namreč z enim [oziroma enoto] odmerjeno mnoštvo« (Metafizika, I 6, 1057a3).^[11]Enota izbrane predmete obravnava kot diskretne elemente, ki se v aktu štetja – navkljub materialni različnosti – glede na enoto štetja ne razlikujejo: jabolka štejemo kot jabolka, hruške kot … Continue reading Torej tudi antični matematiki, ki motrijo čista števila in za svoje enote ne jemljejo materialnih predmetov, potrebujejo jasno opredeljeno enoto, s katero števila štejejo. Prav v kontekstu te potrebe pa moramo razumeti znameniti spor med Platonom in Aristotelom o metafizičnem statusu čistih enot štetja. Kot je dobro znano, je Platon zagovarjal popolno neodvisnost čistih enot štetja od materialnega sveta, medtem ko je Aristotelov princip abstrakcije zmeraj ohranjal stik s predmeti, od katerih je abstrahiral zgolj dozdevno neodvisne enote. Zastopala sta torej različni mnenji, a sta se oba gibala v enakem mišljenjskem horizontu (tj. v dojemanju narave števila kot mnoštva enot).

Iz te slavne debate o ontološkem pomenu miselne enote nematerialnih števil pa sledi subtilna razlika med antičnim in sodobnim razumevanjem števila. Husserl, ki je bil recimo po temeljni izobrazbi matematik, se v svojih spisih sicer sooča z vprašanjem enote, a zanjo zmeraj predpostavi, da je v pravem, tj. čistem matematičnem smislu izpraznjena vsakršne vsebine. Po svojem bistvu zato ni zavezana k določenemu mnoštvu preštetih idealnih enot ter z njim jasno opredeljeni enoti štetja (Husserl svoji formalizirani enoti namreč pravi Etwas überhaupt (Husserl 1939, 18)) (Hopkins 2011, 357). Nasprotno je, kot smo omenili v prejšnjem razdelku, iz spora med Platonom in Aristotelom še kako očitno, da antičnim matematikom predpostavka o pomenski izpraznjenosti enote štetja ni dostopna. Medtem ko mora Husserl zgolj eksplicirati fenomenološko genezo čiste formalne enote, katere nedoločen, algebrski način biti je že vnaprej formalno privzet, je v antični filozofiji iskanje določenega pomena čistih matematičnih enot v resnici glavni vir matematične problematike.^[12]Več o tem, kako so filozofska prepričanja usmerjala matematično prakso predvsem praočeta algebre Diofanta, Klein razdela v desetem poglavju knjige Greek Mathematical Thought and the Origin of … Continue reading Antični matematik v svojih teoretičnih podvigih proučuje števila in njihove relacije, vendar se števila sama ne odrečejo jasno razvidnim – tudi čisto miselnim – enotam, preko katerih jih motri. V antiki vprašanje o metafizičnem statusu enote štetja ostane še kako relevantno.

Antični arithmos potemtakem ni bil ekvivalenten izpraznjeni množici enot, ki bi zahtevala zgolj in samo potencialnost bijektivne preslikave na mnoštvo predmetov. Rečeno drugače, antični matematiki števila niso znali ločiti od preštetih enot, s katerimi so ga nazorno zapopadli (ibid., 528). Vprašanje, ki razkriva predstavljeno razliko, je leta 1621 bralcem postavil prvi urednik spisov Diofanta, praočeta algebre. Takole zapiše: »Mar obstaja kdo, ki si, ko sliši ‘število 6’, ne bi obenem predstavljal šestih enot? Zakaj je potem potrebno reči ‘šest enot’, ko bi vendar zadostovalo reči ‘šest’?« (ibid., 528). Enota štetja torej po uvedbi algebrskih simbolov (p)ostane neizrečena, saj je dojeta v svoji nedoločenosti in formalizirani razobličenosti, tj. algebrski simbolizaciji: algebrske operacije s simboli nadomestijo dejansko izvedene računske operacije. Ali drugače: število, zapisano s simbolom, nadomesti jasno opredeljeno enoto štetja (ibid., 534f). Lahko bi rekli, da števil ne štejemo več, saj z algebro vprašanje o metafiziki enote štetja zdrkne v pozabo. Matematika v svojo misel uvede novo strukturno dinamiko, katere silnice bomo v preostanku sestavka počasi razkrivali in izpeljevali njihov vpliv na zgodovino matematizacije narave. Pred tem pa naj še opozorimo, da se vodílo srečljivosti odraža tudi v antičnih mešanih znanostih.