Gre za drugi del prispevka, objavljenega v reviji Phainomena, 124-125(32), str. 221-253.

Matematični qua naravnih pojavov

            Znanstvenik pojav matematizira tako, da zanj vnaprej predpiše shemo postulatov (tj. definicij in aksiomov), iz katere izpelje vse nadaljnje sklepe. Arhimed iz Sirakuz denimo v svojih delih O ravnotežju ravnin ali o težiščih ravnin in Plavajoča telesa stori prav to: znanstveni pojav (vzvod oziroma hidrostatiko) vnaprej opredeli z naborom aksiomov, iz katerih nato z geometrično dedukcijo izpelje relevantne pojave (Archimedes 2002, 189–220 in 253–300).^[1] Bralec lahko strnjen pregled Arhimedove protomatematične fizike najde v A History of Mechanics francoskega zgodovinarja Reneja Dugasa (1988, 24–31). Ta način se sklada tako s Husserlovim pristopom, ki matematizacijo razume kot »oblačenje« predmetov v (evklidsko) geometrijo (Husserl 2012, 24f), kot tudi s Heideggerjevimi pojmovanji, ki zasnutek matematičnih predmetov utemeljijo z izpeljevanjem vzpostavljenih aksiomatskih trditev (Heidegger 2011, 202). Razlike med Arhimedom in moderno znanostjo zato ne bomo našli v postopku samem, marveč v načinu njegove uporabe.

            Arhimed je bil glavni predstavnik antičnih mešanih znanosti.^[2]Aristotel jih v Fiziki označi kot »bolj naravne [oziroma fizikalne] izmed matematičnih znanosti« (Aristotel, Fizika 2, 194b), in sicer bi jim lahko rekli podrejene znanosti, saj jih v Drugi … Continue reading Mešane znanosti so na zamejenih eksperimentalnih področjih povezovale abstraktne matematične pojme in empirične predmete. Področja so zamejena zato, ker predmeti antičnih mešanih znanosti zahtevajo matematične pojme, ki naravi predmeta sledijo. Aristotel o »dokazovanju harmonskih <atributov> s pomočjo aritmetike« pravi naslednje: »dokazano dejstvo je predmet ene znanosti [harmonike] […]; vzrok za dejstvo pa je predmet višje znanosti [aritmetike], za katero veljajo značilnosti same po sebi. Tudi iz te razprave je jasno, da je vsak <atribut> mogoče v polnem smislu dokazati samo na osnovi njegovih lastnih počel. V zadnjem primeru pa imata počeli nekaj skupnega« (Druga analitika, I, 76a10–15). Zadnji stavek izraža zahtevo po nazorni in neposredni srečljivosti^[3]S sodobnim besednjakom bi lahko temu rekli zahteva po jasno opredeljenem modelu aritmetike. aritmetičnih počel v harmoničnem dejstvu, saj je sicer prečenje znanstvenih disciplin – »npr. da bi dokazali geometrijsko <dejstvo> s pomočjo aritmetike« – strogo prepovedano (ibid., I, 74a39–75b20). Peter Distelzweig bistvo prepleta antične matematike s fiziko izpostavi s t. i. dvojnim qua operatorjem: »Glasba [harmonika] obravnava svoje polje raziskovanja (1) qua glas in (2) qua število; optika obravnava svoje polje raziskovanja (1) qua vid in (2) qua črto.« Z drugimi besedami, mešane znanosti »matematične pojme [objects] obravnavajo (1) kot [qua] naravne predmete, naravne predmete pa obravnavajo (2) kot [qua] matematične pojme« (Distelzweig 2013: 93).

V antičnem prepletu matematičnega pojma s fizikalnim predmetom se razjasni posebnost sodobnega matematiziranja pojavov: matematizacija (kot jo razume fenomenologija) naravne predmete preskakuje in jim ne sledi (Heidegger 2011, 202).^[4]Peter Machamer (1978) je prepričan, da je Galilej dedič arhimedovske tradicije mešanih znanosti. Kljub temu se vzdrži razlage, kako je Galilej uspel preseči zamejenost dvojnega qua operatorja … Continue reading Po mnenju fenomenologije sodobna matematizacija brezobzirno grabi po sebi neprimernih situacijah in jih s pomočjo eksperimentov tlači v zelo ozek formalni okvir. Pri tem naivno pozablja, da je dejanskost raziskovanih pojavov pogosto bogatejša od nabranih matematičnih dejstev. Arhimed se brez težav izmakne tem očitkom oblačenja narave, saj si takega posega v razumevanje narave predmetov enostavno ne dovoli: med raziskovanjem fizikalnih sistemov sledi njihovim srečljivim matematičnim oblikam. Skratka, matematizacije obsojena novoveška znanost se ravna po »enojnem qua operatorju«: vse obravnava kot matematični pojem.

            Idealizirana podoba enojnega qua operatorja pri proučevanju narave izkazuje dvojnost fenomenološkega pojma matematizacije: po eni strani enojni qua operator znanstvenika vodi s pomočjo izpopolnjenih in idealiziranih pojmov, ki v svoji transhistoričnosti izgubijo neposredni nazorni pomen; po drugi strani pa matematična interpretacija pojavov ni izkustveno samoumevna. Kot smo že omenili, Husserl drugi zahtevi poskuša zadostiti s sklicevanjem na tehnični napredek, ki v svoji natančnosti omogoči dosledno aplikacijo matematičnih pojmov (ibid., 45f). Heidegger sicer opazi, da je treba upoštevati hermenevtično izrisan prostor aksiomatskega sistema, ki Husserlovo razmerje med življenjskim svetom in njegovo matematizacijo tako rekoč obrne. A skupna predpostavka o tem, da je znanstvena revolucija prvenstveno metafizična reinterpretacija sveta, ostaja ista. Simbolizacijo matematike fenomenologija razume kot zgolj obstransko posledico potrebe po novi metafizični interpretaciji sveta. Tukaj pa se pojavi problem: antična fizika v svetu srečuje pojave, ki so si z matematičnimi pojmi nazorno enaki, prav zaradi tega pa ji umanjka eksperimentalna težnja enojnega qua operatorja po brezobzirni matematizaciji. Fenomenologija sicer eksperimentalno težnjo in brezobzirno matematizacijo novoveške znanosti obsodi, a hkrati spregleda, da antična matematika brez temeljne preobrazbe tej ni sposobna slediti – vztrajno se namreč drži tega, čemur pravimo vodilo srečljivosti. Iz tega je razvidno, da fenomenologija simbolizacijo matematične misli, ki zgodovinsko gledano matematiki omogoči preseči okvir mešanih znanosti, tematizira na napačen način.

            Opisano dilemo bomo rešili z uvedbo simbolizacije fizikalnih pojmov, ki bodo svoj pomen tvorili izključno na podlagi funkcionalnih odnosov z ostalimi pojmi v matematični strukturi ter s tem izgubili materialno podlago. Kot bomo videli v nadaljevanju, je najlepši primer opisane preobrazbe sprememba v razumevanju gravitacije, saj moderni pristop za razliko od antičnega ne razlikuje med nebesnimi in zemeljskimi telesi. Pojem gibajočega se predmeta se povsem izprazni in obstane kot funkcijski odnos spremenljivk, s katerimi ga znanstvenik opisuje. Razlika med potjo topovske krogle in orbito planeta na ta način postane formalna, tj. neodvisna od materialne podstati raziskovanega predmeta.

            Platon, Galilej in urejenost vesolja

Poglejmo si primer, v katerem razliko med antično materialno srečljivostjo in novoveško formalno simbolnostjo srečamo na ravni splošne kozmologije. Že na prvih straneh Dialoga o dveh glavnih sistemih sveta Galilej predstavi naslednjo interpretacijo Platonove teorije o nastanku vesolja:

»Narava [si] nekaj časa in na neki razdalji pomaga s premim gibanjem, zato da gibljivemu telesu, ki je bilo prvotno postavljeno v mirovanje, podeli neko določeno hitrost. Upoštevaje to razlago, si predstavljamo, da je bog ustvaril npr. telo Jupiter in sklenil, da mu podeli neko hitrost, ki jo mora odtlej nenehoma enakomerno vzdrževati; s Platonom lahko porečemo, da ga je najprej pognal v premo in pospešujoče gibanje, ko pa je Jupiter dosegel zadano stopnjo hitrosti, je njegovo premo gibanje spremenil v krožno, ki mu nato po naravi pripada enakomerna hitrost.« (Galilei 2009, 27)

V Platonovem Timaju, ki je temu navedku najbližje (predvsem 38b–39b), pravkar navedene teorije ne bomo našli. Nenazadnje je dobro znano, da se je novoveška znanost navdihovala z besedili antičnih piscev, a jih je pogosto interpretirala v luči anahronističnih predpostavk, ki so se porodile iz sporov s sholastično znanostjo (Klein 1992, 120). V Timaju pa vseeno najdemo teorijo o nastanku vesolja, ki za razmejitev urejene narave od izvornega kaosa poseže po matematični teoriji razmerij:

»Tako je bog postavil vodo in zrak na sredo med ogenj in zemljo ter je med njimi izdelal kolikor mogoče skladno sorazmerje: zrak je v razmerju do vode to, kar je ogenj v razmerju do zraka, in voda je v razmerju do zemlje to, kar je zrak v razmerju do vode. […] Iz teh ter takšnih (prvin), štirih po številu, je bilo porojeno telo sveta, ki se je uskladilo prek sorazmerja.« (Platon, Timaj, 32b–c)

Gibanje posameznega predmeta, ki sestoji iz teh štirih proporcev, je seveda določeno z ozirom na njegovo naravno mesto mirovanja. Predmet miruje, če je v ravnotežju (tj. določenem sorazmerju) s svojo okolico, v nasprotnem primeru se giblje proti mestu mirovanja: »mirovanje je vselej povezano z izravnanostjo, gibanje pa z neizravnanostjo« (ibid., 58a). Zopet opazimo, da je antična misel za kakršnokoli matematično razlago narave zahtevala nazorno srečljivost počel, ki jih je z matematiko eksplicirala.

Pri Galilejevi opredelitvi gibanja je seveda nekoliko drugače. Videli smo, da nastanka vesolja (oziroma Sončevega sistema) ne opredeli z izpostavitvijo materialnih lastnosti, ki jih je bog vtisnil temeljnim gradnikom. Veliko bolj ga zanima oblika gibanja in kako jo je bog ustvaril. Kot zapiše Klein: »Telesa sama na sebi niso izpostavljena primerjavi, razumemo jih namreč preko njihovega modusa biti, natančneje preko njihovega gibanja« (Klein 1985, 31). Na ta način jih simboliziramo, tj. spremenimo v abstraktna točkasta telesa. Vendar pa simbolizacija gibanja po Kleinu zahteva uvedbo nove dimenzije proporcionalnih razmerij – čas (ibid., 34). Toda Klein v uvedbi dimenzije časa spregleda zametke novih matematičnih orodij, zato bomo manjkajočo povezavo izpeljali mi.

Oresmov diagram, mehanika in vztrajnost

Zgodovini disciplin matematične analize in klasične mehanike sta si presenetljivo blizu. Zgodovino prve se pogosto povezuje z reševanjem geometrijskih problemov, vendar so poleg vprašanj o volumnu, ploščini in tangentah pomembno vlogo v njenem razvoju odigrali tudi mehanski problemi (Stillwell 2010, 244). Na temelju njune medsebojne spetosti bomo v nadaljevanju raziskali tesno razmerje med osnovnimi idejami matematične analize in formaliziranim pogledom na gibanje. Pokazali bomo, da so matematična sklepanja pogosto ostala utemeljena zgolj in samo praktično ter šele čez čas vzbudila željo po natančni aksiomatski utemeljitvi.

Temeljna ideja, ki že v Galilejevem delu povezuje obravnavani disciplini, je kvazi-inverzni odnos, ki ga med seboj oblikujeta strmina grafa in ploščina, ki jo ta izriše: »Razdalja je enaka površini pod grafom hitrosti (v odvisnosti od časa). Hitrost je strmina grafa poti (v odvisnosti od časa)« (ibid., 247). Zametke te ideje najdemo v delu srednjeveškega misleca iz 14. stoletja, Nikolaja Oresma (Oresme 1968, 409). Oresmov diagram (Slika 1) omogoča primerjavo enakomerno pospešenega gibanja in enakomernega (nepospešenega) gibanja: ploščina trapeza, ki simbolizira enakomerno pospešeno gibanje, je enaka ploščini pravokotnika, ki simbolizira enakomerno (nepospešeno) gibanje.

Izpostavili smo že izrazito nesoizmerljivost antičnega in sodobnega razumevanja števil, pri čemer je prvo nerazdružljivo zavezano določeni enoti štetja, drugo pa se z uvedbo algebrskih simbolizacij slednje otrese. Poleg razlike v razumevanju naravnih števil algebrske simbolizacije pred nas postavijo tudi nazorno nesmiselna števila, ki obstajajo le kot simboli in je njihova nazorna interpretacija – vsaj v konvencionalnem smislu opredelitve količine – nemogoča. Število se – recimo – izmika količinski interpretaciji, saj bi ta zahtevala negativni kvadrat števila.^[5] Krasen pregled postopne simbolizacije algebre lahko bralec najde v Stedall (2011); glede recepcije algebre v Angliji pa je še posebej zanimiva Pycior (1997). Descartes kot prvi mislec, ki poskuša utemeljiti imaginarne korene polinomov, opredeli njihov metafizični status glede na celotni simbolni sistem algebre: imaginarni koreni obstajajo le kot zamišljene [conceived] entitete, predvsem v kolikor izpolnjujejo zahteve osnovnega izreka algebre^[6]Osnovni izrek algebre pravi, da je število korenov polinoma zmeraj enako njegovi stopnji. (Descartes 1954, 175). To je mogoče zato, ker je simbol sam nosilec pomena števila in tvori smisel le v odnosu do drugih simbolov: »Material [tj. način biti enot štetja] je zdaj konstituiran s – ’števili’, katerih obstoj ni več problematičen, saj jih kot produkte simbolno delujoče abstrakcije zapopademo neposredno v zapisu« (Klein 1992, 224).

            Ali lahko podobno dinamiko zasledimo tudi v Oresmovem diagramu? To bi pomenilo, da bi novoveški pojem gibanja razumeli samo, če bi izhajali iz strukturnih dinamik zarisanega Oresmovega diagrama. Interpretacija gibanja nekega poljubnega predmeta bi bila samo posamezni primer še abstraktnejše splošnosti gibanja. Kot smo opozorili že v primeru Newtonove metode fluksij, je bilo novoveško razumevanje metod integriranja in odvajanja vse prej kot jasno in razločno. Enako velja tudi za Galilejevo razumevanje Oresmovega diagrama; slednjega namreč celo eksplicitno loči od tega, čemur vseskozi pravimo srečljive matematične interpretacije. Pri utemeljitvi se namreč sklicuje na nedeljive trenutke, v katerih gibajoče se telo poseduje količine hitrosti, ki se tekom gibanja seštejejo v ploščino diagrama (Galilei 1954, 215; Galilei 2009, 218f). To v kontekstu evklidske geometrije, kjer je črta, ki pri Galileju simbolizira specifično hitrost, po drugem aksiomu Evklidovih Elementov brez širine, seveda nima prav nobenega smisla. Kako naj bi se črte brez širine seštele v končno širino ter posledično v ploščino lika?

Galilej se nesmislov, do katerih nas pripelje razmišljanje o neskončnosti, v vsej polnosti zaveda. Iz t. i. problema Rota Aristotelis (glej Sliko 2), ki se sprašuje, kako lahko večji in manjši krog ob vrtenju izrišeta isto dolžino, izpelje nasprotje med deljivimi in nedeljivimi količinami (Galilei 1954, 49–52). Prve izhajajo iz konteksta že vzpostavljene matematike, v kateri lahko poljubno dolžino delimo v nedogled; druge predstavljajo še nejasno izoblikovan pojem, ki odpira nove dimenzije mišljenja neskončnosti. Galilej je prepričan, da je neskončnost s pomočjo te druge vrste pojmov povsem enostavno doseči; zahteva edino, da neskončno majhne točke, na katere razdelimo daljico, niso srečljive:

»Napočil je čas, da odgovorimo na Simplicijevo vprašanje in mu pokažemo, da ne le, da črte ni nemogoče spremeniti v neskončno število točk, temveč da to ni nič zahtevnejše kot razdeliti jo v končno število delov. To bomo storili pod pogojem, glede katerega sem prepričan, Simplicio, da mi ne boš oporekal, namreč da od mene ne boš zahteval, da eno točko razločim od druge in da ti vsako posebej pokažem tu na papirju; kajti prepričan sem, da […] boš lahko označil razdelitve daljice s tem, da jo zložiš v kvadrat ali šesterokotnik: te delitve boš zagotovo imel za jasne in dejansko opravljene.« (ibid., 47)

Pod tem pogojem nesrečljivosti Galilej črto najprej »zloži« v kvadrat, nato v petero-, šesterokotnik itd., dokler z »neskončnokotnikom« – krogom – ne pokaže limite procesa kot celote: »Ko sem ravno črto zložil v večkotnik z neskončno stranicami, tj. v krog, sem v dejanskosti udejanjil prej omenjeno neskončnost delov« (ibid.). Vendar pa so nedeljivi deli, tj. točke, ki jih s tem udejanjimo, dostopni le skozi strukturo celotnega postopka in ne sami na sebi; skratka: niso srečljivi. S prikazanim postopkom torej oblikujemo pojem, ki preseže antičnogrško matematiko, a je ta novi način biti matematičnih pojmov hkrati le nakazan in nepreciziran. Z drugimi besedami, pri Galileju je pojem nedeljive količine še nezadostno idealiziran.^[7]Bascelli glede Galilejevih infinitezimalnih nedeljivih količin pravi: »Medtem ko je bila [Galilejeva] rešitev zadovoljiva za naravno filozofijo, ni bila za matematiko, saj je bil nivo idealizacije … Continue reading

Galilejeva rešitev problema Rota Aristotelis je za nas tukaj nepomembna, zanima nas predvsem, kako je Galilej ta novi tip matematičnih pojmov razširil na svojo različico Oresmovega diagrama. Kljub matematični nejasnosti imajo nedeljive količine, ki v Galilejevi različici Oresmovega diagrama (Slika 3) simbolizirajo posamične hitrosti gibajočega se predmeta, izrazito fizikalen pomen. Vendar pa pri tem ne gre za srečljivi pomen antičnih znanosti, temveč za prenesen formalni pomen, ki svoj smisel prejme skozi diagramsko delujočo simbolno abstrakcijo Oresmovega diagrama. O tem priča znamenita zmota, ki je Galileju sprva preprečevala oblikovanje pravilnega zakona prostega pada, saj je diagram razumel preveč arhimedovsko in je vertikalno dimenzijo tolmačil prostorsko. To pomeni, da je bil zanj pospešek najprej odvisen od prepotovane poti, kar je diagram (pre)tesno prepletlo z raziskovanim eksperimentalnim sistemom: parametre pospeška je Galilej srečeval v utoru, po katerem je spuščal kroglice in raziskoval njihov pospešek (Palmerino 2010, 420). To zmotno prepričanje preseže, ko v diagramu jasno loči prepotovano pot (daljica CD) in čas gibanja (daljica AB) (ibid., 437).

Empirični primeri nedeljivih količin – recimo materialni atomi – so razumljivi le skozi matematično skico in ne sami na sebi. Zato, četudi bi jih iskali, jih po Galilejevem mnenju ne bi našli, tj. srečali: deljenje trdnih snovi na manjše delce zmeraj privede do deljivih količin, ki jih lahko zberemo na kup; po drugi strani pa tekočin ne moremo deliti na enak način, saj se deli v kupu zlijejo v eno. Temu je tako, ker so tekočine razpršene [dissolve] »v svoje temeljne, neskončno majhne in nedeljive gradnike« (Galilei 1954, 41). Z drugimi besedami, nedeljive količine v principu niso enostavno dostopne empiričnim raziskovalnim metodam, njihov eksperimentalni dokaz pa zato zahteva praktično iznajdljivost (Galilei 2009, 199). Prav na ta način moramo razumeti tudi strukturno vlogo, ki jo v formalnem diagramu protointegrala igra hitrost: enakomerno gibanje je zlitje vseh količin hitrosti v celostno ploščino diagrama. Hitrosti so uravnotežene, če je gibanje enakomerno, za neenakomerna gibanja pa lahko proučimo, kako se razlikujejo od idealiziranega enakomernega gibanja. Prav to stori Galilej, ko v Dialogih izenači prepotovano pot enakomerno pospešenega gibanja in enakomernega gibanja, ki se enako dolgo giblje s povprečno hitrostjo prvega gibanja (Galilei 1954, 173).

Čeprav je eden izmed operatorjev qua zgrešil natančnega empiričnega referenta (nedeljiv trenutek qua nedeljiva količina hitrosti), smo z drugim naš formalni diagram vseeno uspeli aplicirati (enakost oziroma neenakost količin hitrosti qua enakomerno oziroma neenakomerno gibanje). Prav z uvedbo t. i. enojnega qua operatorja smo matematiko izmaknili samoumevnemu prepletanju mešanih znanosti. Lahko bi rekli, da so posamične količine hitrosti ekvivalentne številu v algebri, saj prav tako obstajajo izven antičnih matematično-fizikalnih interpretacij pojmov in prejmejo smisel šele z vključitvijo v celostno strukturo simbolnega sistema: nedeljive količine hitrosti obstajajo le v celoti diagrama, v katerega se zlijejo.

            Simbolno vedênje

            V uvodu smo omenili, da bomo s pomočjo filozofije Mauricea Merleau-Pontyja oblikovali posebno obliko fenomenologije znanosti. Zato se bomo v zadnjih dveh odsekih obrnili k njegovi fenomenologiji telesa, s Heideggerjevim pojmom matematičnega zasnutka povezali pojem motoričnega zasnutka ter ponudili izomorfno vzporednico med utelešeno simbolizacijo vedênja in matematično simbolizacijo pojmov. Pri slednji se bo Husserlovo razumevanje tehničnega napredka izkazalo za nujni, a ne zadostni pogoj simbolizacije.

Kot smo lahko prebrali v uvodni predstavitvi Heideggerjeve interpretacije matematične znanosti, ima zanj pojem matematičnega zasnutka, ki na naravo projicira aksiomatsko shemo, ključni pomen: matematični zasnutek znanstveniku izriše horizont možnega znanstvenega napredka, tj. nadaljnje matematizacije narave. Tudi Merleau-Ponty govori o projekciji, le da je ta utelešena projekcija »motoričnega zasnutka« [Bewegungsentwurf] (Merleau-Ponty 2006, 127). Podobno kot pri Heideggerju tudi pri Merleau-Pontyju projiciranje zasnutka subjektu razkrije svet še nepopolno konstituiranih predmetov. Gibom omogoči, da so »sredobežni« in se dogajajo »v možnem ali ne-biti«, saj »subjekt gibanja pred seboj razporedi neodvisen prostor, v katerem vse, kar v resnici ne obstaja, lahko prevzame podobo bivanja« (Merleau-Ponty 2006, 128). Za razliko od Heideggerja pa Merleau-Ponty »funkcijo projekcije« (ibid.) pojmovno loči od motoričnega zasnutka in si tako omogoči raziskovanje nastanka tako projekcije same kot tudi motoričnega zasnutka.

Merleau-Ponty s funkcijo projekcije povzame kvalitativno razliko med konkretnimi in abstraktnimi gibi. Razliko med enimi in drugimi bomo povzeli z naslednjim navedkom, v katerem Merleau-Ponty ponazori temeljno težavo znamenitega bolnika Schneiderja: »[I]sti subjekt, ki na ukaz ni sposoben [a] s prstom pokazati na del svojega telesa, se v trenutku [b] dotakne mesta, kamor ga je pičil komar« (Merleau-Ponty 2006, 120).^[8]Merleau-Ponty je svoje razumevanje telesa v veliki meri utemeljil s sklicevanjem na študije, ki sta jih v dvajsetih letih 20. stoletja opravila Adhemar Geld in Kurt Goldstein. Raziskovala sta … Continue reading V čem je razlika? Podlaga konkretnemu gibu (b) je »dani svet« (ibid., 113), zato je gib zgolj sredstvo za preganjanje komarjev. V abstraktnem gibu (a) pa se telo iz »gonila gibanja« preoblikuje v »cilj [gibanja]«, v katerem je isti gib le »vrsta gest na sebi« (ibid., 127). Abstraktni gib torej izvedemo neodvisno od realizacije namena v danem svetu, z opravljenim konkretnim gibom pa v danem svetu srečamo njegov cilj – komarja. Razumevanje gibov samih na sebi (tj. abstraktno vedenje) seveda ni mogoče brez že omenjenega motoričnega zasnutka, ki tvori konstruirano podlago abstraktnih gibov in Schneiderju preprosto umanjka (ibid., 127).

Na srečo Merleau-Ponty o konstituciji telesa kot nove avtonomne strukture motoričnega razmisleka piše že v svojem prvem delu Struktura vedenja (1943). Opredeli jo s pomočjo razlike med odstranljivim in simbolnim vedenjem, za katero se zdi, da služi kot ekvivalent razliki med konkretnimi in abstraktnimi gibi. S tema oblikama vedenja Merleau-Ponty razloči med strukturami vedenja ostalih primatov in strukturami vedenja človeka. V enem izmed primerov opiše opico, postavljeno pred škatlo, v kateri se nahaja banana. Banano opica lahko doseže le tako, da jo s palico porine stran od sebe in s tem skozi odprtino na zadnji stranici škatle. Če ji uspe, banano brez težav zvleče okoli škatle in do sebe (ibid., 117). Kljub temu da je opica, če ji je to dovoljeno, škatlo sposobna s celotnim telesom zaobiti, tj. se sprehoditi do zadnje strani škatle in banano neposredno prijeti, pa giba z roko in palico, ki bi dosegel isti rezultat, a brez spreminjanja telesne lege, ni sposobna izvesti (ibid.). Hoje okoli škatle, ki je za opico nedvomno in neposredno smiselna, tako ni sposobna nadomestiti – tj. simbolizirati – z gibom roke, ki smisel tvori šele posredno. Vedenjski vzorec giba roke opici ni dosegljiv, saj porivanje banane skozi odprtino (torej stran od nje same)neposredno zanika potrebo po hrani. Nasprotno pa človeška simbolizacija gibanja omogoča nadomestitev enega giba (neposredno smiselna hoja okoli škatle) z drugim (posredno smiselna uporaba orodja). Pri tem sicer ohranimo pomen in izid prvega, a uporabimo pravila telesnega vedenja drugega; prav tako kot algebra ponudi simbolno manipulacijo spremenljivk, ki zgolj posredno označujejo nabor specifičnih numeričnih vrednosti.

            Iz sposobnosti simbolizacije vedenja lahko izpeljemo refleksivni obrat (nekakšna epoche praktičnega namena), ki omogoča problematizacijo pravilnosti oziroma nepravilnosti lastnih gibalnih vzorcev: »Žival se ne more postaviti na mesto premične reči in same sebe videti kot cilj [tj. same sebe kot kinestetični fenomen oz. gib]. Ne more imeti različnih perspektiv, prav tako kot ne more razumeti, da je stvar, videna z različnih perspektiv, ista stvar« (ibid., 118). Po drugi strani pa človek ciljno stvar pogosto ohrani nespremenjeno in variira vedenjske vzorce, po katerih dostopa do nje. Obrat omogoča odprtost strukturne  dinamike človeških gibov, saj je ta deloma neodvisna od cilja, ki ga želi doseči: v prid (zanimivejši) posredni izpolnitvi vzgiba želje je zmožna izvesti njeno neposredno zanikanje. Refleksivni obrat – »utelešena epoche« – je torej posledica zavrtja neposredne izpolnitve želje, ki jo s simbolnim vedenjem postavimo v oklepaj. S tem v ospredje stopijo raznoliki vedenjski vzorci doseganja izbranega cilja in medsebojni odnosi, v katere vstopajo. Fenomenalno telo na podlagi razlik med vedenjskimi vzorci oblikuje strukturno dinamiko, s katero posamični gibi delujejo v medsebojni relaciji motorične skice in lahko zato občasno zanemarijo izventelesno referenco. Prav te vedenjske vzorce Merleau-Ponty poimenuje abstraktno vedenje: zasnutek in z njim funkcija projekcije sledi iz simbolizacije predmetov z gibi.

            Iz tega sledi, da je neposredna izpolnitev pogojev materialne enakosti dveh predmetov zanemarjena v prid funkcionalne enakosti glede na strukturo vedenja uporabe. Takega enačenja pri opici denimo ne bomo našli, saj jo neko nalogo sicer lahko naučimo reševati s palico, a je kasneje z vejo posušenega grma ne bo izvedla (Merleau-Ponty 1963, 114). Gib, s katerim doseže cilj, je zaprt v napotilni sklop določenih materialnih predmetov. Podobno je pri konkretnem vedenju, saj je v tem primeru vedenje prav tako zavezano k opravljanju določenih danih opravil. Nasprotno pa je zdravo človeško vedenje simbolizirano, abstrahirano in zato »osvobojeno«: človek se je sposoben prilagoditi različnim predmetom, ki imajo skupno strukturo (so funkcionalno ekvivalentni), zaradi česar lahko s podobnimi gibi pride do istega cilja. Pred nami je izrisan horizont potencialnih gibalnih vzorcev, s katerimi lahko pristopamo do raznolikih predmetov. Tako palica kot tudi posušena veja lahko služita kot podaljška roke, pomembno je le, da obvladamo motorični zasnutek podaljška roke.

Na tem mestu lahko sklenemo kritiko Heideggerjeve fenomenologije znanosti in mu poočitamo, da z matematičnim zasnutkom opiše le obliko in še ne pojasni geneze matematizirane znanosti. Slednja namreč zahteva simbolizacijo členov (matematičnega) zasnutka – kreacijo pojmov, ki so smiselni le v kontekstu celote simbolnega sistema. Prav tako mu lahko očitamo, da so tovrstni pojmi pogosto predteoretske narave, saj njihova idealizacija še ni izpopolnjena. Seveda pa se lahko ozremo tudi na Husserla, ki zasnutek zanemari v prid tehničnega napredka. Vidimo lahko, da je simbolni refleksivni obrat izvedljiv le, v kolikor je predmet, ki ga med simboliziranjem ohranjamo konstantnega, sam po sebi stabilen. Prav v tej zahtevi srečamo vzporednico s Husserlovim razumevanjem tehnike, saj je simbolizacija mogoča šele na podlagi dobro izoblikovanih tehnik eksperimentiranja, ki jih lahko ob simboliziranju pojmov ohranimo nespremenjene in stabilne. Očitek o pretirani idealizaciji znanstvenih pojmov ostaja enak kot pri Heideggerju.

            Za zaključek: simbolno védenje

Ker smo jasno pokazali, da sta (a) eksperimentalna tehnika in (b) matematični zasnutek vzporedna z (a) nujnimi predpogoji in (b) zasnutkom abstraktnih gibov, lahko tudi obrat novoveške znanosti razumemo kot uvedbo nove simbolne osvoboditve matematičnih pojmov. Videli smo, da se je moderna teorija števil otresla zahteve po jasno opredeljeni enoti štetja, moderna mehanika pa zahteve po materialni določitvi predmeta raziskovanja. Obe spremembi sta mogoči le na podlagi simbolnega zasnutka, s katerim lahko izvedemo refleksivni obrat v matematične pojme in posledično prevprašamo njihove najbolj nazorne interpretacije. (Obrat nam prav tako omogoči tvorbo zgolj simbolnih pojmov, ki nazorne interpretacije ne premorejo.) Simboliziramo takrat, ko z variiranjem simbolnega zasnutka k pojavu pristopamo na različne načine. S tem pa predvsem lažje opazimo strukturo funkcionalnosti, ki raznolike materialne predmete zbere pod isti simbolizirani pojem.

 Husserlu in Heideggerju smo očitali, da simbolni značaj novoveške znanosti spregledata. Posledično jima razlaga prehoda iz antične znanosti v sodobno, simbolno znanost ni uspela. Njuno togo razumevanje znanosti lahko dopolnimo z gibkostjo predteoretskega matematičnega zasnutka,^[9] Nekaj podobnega razvija tudi Vörös (2021), le da z nekoliko drugačne perspektive. ki v simbolni naravi moderne znanosti razkrije praktično znanstveno inteligenco in s tem prenese nenatančno posplošitev mešanih znanosti:

»Res bi bilo nekaj novega, če računi in sorazmerja, dobljeni z abstraktnimi števili, potem ne bi ustrezali dejanskim zlatnikom, srebrnikom in trgovskemu blagu. Pa veste, gospod Simplicij, kaj se dogaja? Tako kot mora računar, če hoče, da se mu računi o sladkorju, svili in volni izidejo, upoštevati odbitke zaradi zabojev, ovitkov in druge ovojnine, tako mora tudi filozof geometer, kadar hoče v konkretnosti preverjati abstraktno dokazane učinke, odstraniti snovne motnje, in če bo to znal storiti, vam zagotavljam, da se ne bodo zadeve izkazale nič manj natančne od aritmetičnih izračunov. Napake torej ne ležijo ne v abstraktnosti ne v konkretnosti, ne v geometriji ne v fiziki, marveč v računarju, ki ne zna pravilno računati.« (Galilei 2009, 199; moj poudarek)

Matematični fizik zato od pojavov nikoli ne pričakuje, da se bodo popolnoma prilegali matematičnim pojmom. A s tem ni prav nič narobe. Nasprotno: to mu omogoča, da toliko lažje razume aplikativne dinamike matematično-fizikalnih teorij. Vztrajnostno gibanje je torej simbolizirano gibanje, ki služi kot referenčni okvir za razmišljanje o kakršnemkoli gibanju na sploh. Prav tako kot opica ne more pomisliti, da lahko palico zamenja s posušeno vejo za enak učinek, si tudi Arhimed ni mogel zamisliti, da so planeti v svojem gibanju pravzaprav izstrelki.

Bibliografija

            Allen, John. 1972. »Summary of Scientific Results.« V Apollo 15 Preliminary Science Report, uredili Joseph P. Allen in drugi, 2-1-2-11. Washington: National Aeronautics and Space Administration.

            Aristotel. 1999. Metafizika. Ljubljana: Založba ZRC.

–. 2004. Fizika: Knjige 1, 2, 3, 4. Ljubljana: Slovenska matica.

            –. 2012. Druga analitika. Ljubljana: ZRC SAZU.

            Bascelli, Tiziana. 2014. »Galileo’s “quanti”: understanding infinitesimal magnitudes.« V Archive for History of Exact Sciences 68 (2): 121–136.

            Berkeley, George. 2007. »The analyst.« V From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundation of Mathematics: Volume 1, uredil William Ewald, str. 60–90. Oxford: Oxford University Press.

            Cohen, H. Floris. 2016. »The ‘Mathematisation of Nature’: The Making of a Concept, and How It has fared in Later Years.« V Historiography of Mathematics in the 19th and 20th Centuries, uredili V. R. Remmert, M. R. Schneider, H. K. Sørensen, 143–160. Cham: Springer Inernational Publishing.

            Descartes, Rene. 1954. The geometry of Rene Descartes. Prev. David E. Smith in Martha L. Latham. New York: Dover Publications.

            Distelzweig, Peter. 2013. »The Intersection of the Mathematical and Natural Sciences: The Subordinate Sciences in Aristotle.« Apeiron 46 (2): 85–105.

            Dugas, Rene. 1988. A History of Mechanics. New York: Dover Publications.

            Feldhay, Rivka. 2006. »The use and abuse of mathematical entities: Galileo and the Jesuits revisited.« V Cambridge companion to Galileo, uredil Peter Machammer, 53–79. Cambridge: Cambridge University Press.

            Galilei, Galileo. 1954. Dialogues concearning two new sciences. New York: Dover Publications.

            –. 2009. Dialog o dveh glavnih sistemih sveta. Ljubljana: ZRC SAZU.

            Garrison, James W. 1986. »Husserl, Galileo, and the Processes of Idealization.« V Synthese 66 (2), 329–338.

            Guicciardini, Niccolò. 2009. Isaac Newton on Mathematical Certainty and Method. Cambridge: The MIT Press.

            Heidegger, Martin. 2011. »Modern Science, Metaphysics, and Mathematics.« V Basic Writings: from Being and Time to The Task of Thinking, uredil D. F. Krell, 183–212. Oxon: Routledge.

            Hopkins, Burt. 2011. The Origin of the Logic of Symbolic Mathematics: Edmund Husserl and Jacob Klein. Bloomington: Indiana University Press.

            Husserl, Edmund. 1939. Erfahrung und Urteil: Untersuchungen zur Genealogie de Logik. Praga: Academia Verlagsbuchhandlung.

            –. 1998. »Vprašanje po izvoru geometrije kot intencionalno-zgodovinski problem.« V Problemi 36 (1-2): 7–29.

            –. 2005. Kriza evropskih znanosti in transcendentalna fenomenologija: uvod v fenomenološko filozofijo. Ljubljana: Slovenska matica.

            Kaplan, Abram. 2018. »Analysis and demonstration: Wallis and Newton on mathematical presentation.« Notes and Records of The Royal Society 72, 447–468. Dostopno na: https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rsnr.2018.0025.

            Klein, Jacob. 1940. »Phenomenology and the History of Science.« V Philosophical Essays in Memory of Edmund Husserl, uredila Marvin Farber, 143–163. Cambridge: Cambridge University Press.

            Klein, Jacob. 1968. Greek mathematical thought and the origin of algebra. Cambridge: The M.I.T. Press.

            Lennox, James, G. 2008. »As if we were investigating snubness.« V Oxford Studies in Ancient Philosophy 35: 149–186.

            Merleau-Ponty, Maurice. 1963. Structure of Behaviour. Boston: Beason Press.

–. 2006. Fenomenologija zaznave. Ljubljana: Študentska založba.

            Newton, Isaac. 2020. »Matematični principi filozofije narave.« V Filozofski vestnik 41  (3): 7–80.

            Oresme, Nicole. 1968. »Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum secundum doctorem et magistrum Nych. Orem.« V Nicholas Oresme and the Medieval Geometry of Qualities and Motions, uredil in prevedel Marshall Clagett, 158–435. Madison: University of Winsconsin Press.

            Palmerino, Carla R. 2010. »The Geometrization of Motion: Galileo’s Triangle of Speed and its Various Transformations.« V Early Science and Medicine 15: 410–447.

            Platon. 2009. »Timaj«. V Platon: Zbrana dela IV, prev. Gorazd Kocijančič, 1253–1311. Celje: Celjska Mohorjeva družba.

            Pycior, Helena M. 1997. Symbols, Impossible numbers, and Geometric entaglements. Cambridge: Cambridge University Press.

            Stedall, Jacqueline. 2010. From Cardano’s great art to Lagrange’s reflections: filling a gap in the history of algebra. Zürich: European Mathematical Society Publishing House.

            Stillwell, J. 2019. A Concise History of Mathematics for Philosophers. Cambridge: Cambridge University Press.

            Stillwell, John. 2010. Mathematics and Its History. New York: Springer Science.

            Vörös, Sebastjan. 2021. »Neobjektivna znanost? Fenomenološka kritika objektivne misli«. V Misli svetlobe in senc: Razprave o filozofskem delu Marka Uršiča, uredili M. Malec in O. Markič, 99–122. Ljubljana: Znanstvena založba Filozofske fakultete Univerze v Ljubljani.